Mathematische Logik II

WS 2008/09

Aktuelles

  • Es steht nun im Abschnitt "Material" auf dieser Webseite zusätzliches Material zur Vorlesung zur Verfügung.
  • Die Übungsscheine können im Sekretariat des Lehrstuhls für Informatik 7 abgeholt werden.
  • Wenn Sie eine Aufgabe aus dem aktuellen Übungsblatt in der Übung vorrechnen möchten, wenden Sie sich bitte bis jeweils Montag an Roman Rabinovich.
  • Sie können die Übungen in Gruppen von bis zu drei Studierenden bearbeiten.
  • Die Aufgaben, die mit einem Stern versehen sind, sind Zusatzaufgaben und können optional bearbeitet werden.

Termine

Art Termin Ort   Veranstalter
V4 Mo 10:00 – 11:30 AH II Beginn 20. Oktober E. Grädel
Do 10:00 – 11:30 AH V Beginn 16. Oktober E. Grädel
Ü2 Mi 15:00 – 16:30 AH I Beginn 22. Oktober B. Puchala, R. Rabinovich 

Übungen

Inhalt

Diese Vorlesung baut auf der Einführungsvorlesung Mathematische Logik auf, in der bereits die Grundlagen der Aussagenlogik, Modallogik und der Prädikatenlogik vermittelt wurden. In Mathematischer Logik II werden die Studenten mit fortgeschrittenen Methoden sowie einigen fundamentalen Errungenschaften der mathematischen Logik im 20. Jahrhundert vertraut gemacht.

In der Vorlesung werden hauptsächlich zwei Gebiete der mathematischen Logik vertieft: Mengenlehre und Modelltheorie.

Mengenlehre als Grundsäule der Mathematik

Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können.
(David Hilbert, 1926)

Die Mathematik beruht grundlegend auf dem Begriff einer Menge. Was sind jedoch Mengen? Naive Definitionen führen in der Regel zu Widersprüchen wie z.B. dem Russellschen Paradoxon der Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten.

Wir werden uns detailliert mit dem Axiomensystem ZFC (Zermelo-Fraenkel mit Auswahlaxiom) für die Mengenlehre auseinandersetzen und versuchen, die sich daraus ergebende Welt der Mengen (Cantors Paradies) zu verstehen. Insbesondere werden wir auf Ordinal- und Kardinalzahlen (wie kann man im Unendlichen weiterzählen und wie kann man im Unendlichen rechnen?), transfinite Induktion und Rekursion sowie die Bedeutung des Auswahlaxioms und der Kontinuumshypothese eingehen.

Das erklärte Ziel der durch Hilberts Programm beschriebenen Bestrebungen lag Anfang des 20. Jahrhunderts darin, die Mathematik auf ein starkes widerspruchsfreies und damit konsistentes Fundament zu stellen. Gödel zeigte jedoch mit seinen Unvollständigkeitssätzen, dass dieses Unterfangen unmöglich ist: Es ist nicht beweisbar, dass die Mathematik konsistent ist, es sei denn, sie wäre inkonsistent.

Einführung in die Modelltheorie

Model theorists are mad tailors: they are making all the possible clothes hoping to produce also something suitable for dressing.
(after Stanislav Lem)

Als Modelltheorie bezeichnet man die Untersuchung mathematischer Strukturen mittels Logik. In diesem Teil der Vorlesung werden die zentralen Konstruktionen und Werkzeuge vorgestellt, die in der Modelltheorie eine Rolle spielen wie z.B. Kompaktheit, Typen und elementare Erweiterungen. Dabei werden wir uns auf folgende Fragestellungen konzentrieren:

  • Gegeben sei eine first-order Theorie T, wie sehen die Modelle von T aus?
    Wir werden zeigen, wie sich einerseits sehr reichhaltige Modelle, also Modelle die alles umfassen, was von T nicht explizit verboten wird, andererseits aber auch sehr sparsame Modelle von T konstruieren lassen, die nichts enthalten, was nicht von T explizit gefordert wird. In vielen dieser Konstruktionen spielt der Kompaktheitssatz eine zentrale Rolle.
  • Wie ausdrucksstark ist eine Logik?
    Wir werden Logiken vorstellen, die stärker sind als die Prädikatenlogik erster Stufe, wie z.B. inifinitäre Logik oder Fixpunktlogiken, die eng mit Induktions- bzw. Rekursionsmechanismen verknüpft sind und vielfältige Anwendungsmöglichkeiten von der Mengenlehre bis hin zur Informatik haben. Um die Ausdrucksstärke dieser Logiken besser charakterisieren zu können, werden wir uns eingehend mit Ehrenfeucht-Fraïssé-Spielen für diese Logiken befassen.

Material

Sie können hier das Skript zur Mengenlehre von Achim Blumensath herunterladen. Ferner steht jeweils ein kurzes Skriptum mit Material zu Modelltheorie beziehungsweise Fixpunktlogik zur Verfügung. Bitte beachten Sie, dass der Teil zu Fixpunktlogiken die Abschnitte über inflationäre beziehungsweise partielle Fixpunktlogiken noch nicht enthält. Wir verweisen für diese Teile vorerst auf [9].

Literatur

Voraussetzungen

  • Mathematische Logik

Zuordnung

  • Mathematik (D): Reine Mathematik
  • Mathematik (B.Sc.): 5./6. Semester
  • Informatik (D): Theoretische Informatik, Vertiefungsfach, Anwendungsfach Mathematik
  • Informatik (B.Sc.): Wahlpflicht Theoretische Informatik
  • Informatik (GYM+GS,SII): Math. Methoden der Informatik (C)
  • Software Systems Engineering (M.Sc.): Theoretical Computer Science

Leistungsnachweis

  • Diplomstudiengänge: Übungsschein bei erfolgreicher Teilnahme an den Übungen (50% der erreichbaren Punkte) und Vorrechnen von Aufgaben
  • Bachelor-Studiengänge: Übungsschein bei erfolgreicher Teilnahme an den Übungen (50% der erreichbaren Punkte) und Bestehen einer mündlichen Prüfung
  • Software Systems Engineering (M.Sc.): active participation in exercises and final examination

Rückfragen

Erich Grädel, Tobias Ganzow, Bernd Puchala, Roman Rabinovich