Seminar Logik, Komplexität, Spiele: Axiome und Modelle der Mengenlehre
WS 2013/14
Aktuelles
- Die Vorträge am Mittwoch Vormittag finden im Seminarraum vom Lehrstuhl für Informatik 7 statt (Raum 4116, Erweiterungsbau 1, Ahornstr. 55).
- Das Programm für die Vorträge ist jetzt online.
- Die Vortragsdauer beträgt jeweils 30 bis 35 Minuten.
Organisation
Die Veranstaltung wird gegen Ende des Semesters als Blockseminar durchgeführt.Zeitplan
| bis 16.10. | Literaturbesprechung |
| 06.11. | ausführliche Gliederung |
| 04.12. | Ausarbeitung |
| 08.01. | Endgültige Fassung |
| 29.01. | Folien |
| 5.2., 6.2. | Vorträge |
Programm
| Mittwoch, 5. Februar | ||||
| – | Florian Pal | Axiom systems for set theory | ||
| – | Maria Astrakhantseva | Transfinite induction, the cumulative hierarchy and constructible sets | ||
| – | Fabian Beutel | The Banach-Tarski paradox and other consequences of Choice | ||
| – | Christian Frisch | Axiom of Determinacy | ||
| – | Phillip Keldenich | V=L and the consistency of the Axiom of Choice | ||
| – | Robert Lipp | Independence of the Axiom of Choice in set theory with atoms | ||
| – | Johnathan Hüser | Independence of the Axiom of Choice and the method of forcing | ||
| Donnerstag, 6. Februar | ||||
| – | Richard Wilke | Ordinals, cardinals: arithmetic in the infinite | ||
| – | Tuan Anh Nguyen | Large cardinals | ||
| – | Leopold Grabolle | Non-well-founded sets | ||
Inhalt
Die Standardaxiomensysteme der Mengenlehre sind ZF und ZFC (Zermelo-Fraenkel mit oder ohne Auswahlaxiom). Das Auswahlaxiom spielt dabei eine besondere Rolle. Einerseits lassen sich einige grundlegende Ergebnisse der Mathematik (etwa, dass jeder Vektorraum eine Basis besitzt) ohne das Auswahlaxiom nicht beweisen, andererseits führt das Auswahlaxiom auch zu überraschenden Konsequenzen, welche der natürlichen Intuition widersprechen, wie etwa das Banach-Tarski-Paradoxon: eine Kugel im dreidimensionalen Raum lässt sich so in fünf Teile zerlegen, dass man aus diesen Teilen zwei identische Kopien dieser Kugel zusammensetzen kann. Es gibt viele mathematische Aussagem, welche (auf der Basis der Axiome von ZF) äquivalent sind zum Auswahlaxiom, oder zu einer abgeschwächten Variante davon.
Im Seminar behandeln wir verschiedene Varianten, Einschränkungen und Erweiterungen von ZF und ZFC. Wir untersuchen Modellkonstruktionen für diese Systeme und die mathematischen Konsequenzen der verschiedenen Axiomatisierungen.
Für das Seminar sind Kenntnisse aus der Vorlesung Mathematische Logik notwendig; Kenntnisse aus der Vorlesung Mathematische Logik II sind sehr empfehlensswert.
Themen
| Thema | Vortragende(r) | Betreuer(in) | Literatur |
| Axiom systems for set theory | Florian Pal | S. Lessenich | [] |
| Transfinite induction, the cumulative hierarchy and constructible sets | Maria Astrakhantseva | W. Pakusa | [] |
| V=L and the consistency of the Axiom of Choice | Phillip Keldenich | S. Lessenich | [] |
| Independence of the Axiom of Choice in set theory with atoms | Robert Lipp | W. Pakusa | [] |
| Independence of the Axiom of Choice and the method of forcing | Johnathan Hüser | F. Abu Zaid | [] |
| The Banach-Tarski paradox and other consequences of Choice | Fabian Beutel | F. Abu Zaid | [] |
| Axiom of Determinacy | Christian Frisch | F. Abu Zaid | [] |
| Ordinals, cardinals: arithmetic in the infinite | Richard Wilke | W. Pakusa | [] |
| Large cardinals | Tuan Anh Nguyen | E. Grädel | [] |
| Non-well-founded sets | Leopold Grabolle | E. Grädel | [] |
Literatur
| [BarwiseMos96] | J. Barwise and L. Moss. Vicious circles: on the mathematics of non-wellfounded phenomena. Center for the Study of Language and Information, Stanford, CA, USA, 1996. |
| [Blumensath08] | A. Blumensath. Set Theory. In Logic and Algebra. Unpublished, 2008. |
| [Devlin84] | K. Devlin. Constructibility. Springer, 1984. |
| [Devlin92] | K. Devlin. The Joy of Sets, Second Edition. Springer, 1992. |
| [Goedel31] | K. Gödel. Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I. Monatshefte für Mathematik und Physik, vol. 38, pp. 173–198, 1931. |
| [HowardRub98] | P. Howard and J. Rubin. Consequences of the Axiom of Choice. American Mathematical Society, 1998. |
| [HrbacekKarJec99] | K. Hrbacek and T. Jech. Introduction to Set Theory, Revised and Expanded. Crc Press, 1999. |
| [Jech73] | T. J. Jech. The axiom of choice. North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1973. |
| [JustWee96] | W. Just and M. Weese. Discovering modern set theory. 1: The basics. American Mathematical Society, 1996. |
| [Kunen80] | K. Kunen. Set theory. North-Holland Publishing Company, 1980. |
| [MoschovakisYia06] | Y. Moschovakis. Notes on set theory. Springer, New York, NY, 2006. |
| [MostowskiAnd69] | A. Mostowski. Constructible sets with applications. North-Holland Publishing Company, 1969. |
| [RubinRub70] | H. Rubin and J. E. Rubin. Equivalents of the Axiom of Choice. North-Holland Publishing Company, 1970. |
| [SmullyanFit10] | R. Smullyan and M. Fitting. Set Theory and the Continuum Problem. Dover Publications, Incorporated, 2010. |
Zuordnung
- Informatik (B.Sc.)/Seminar Informatik
- Mathematik (B.Sc.)/Seminar: Logik, Komplexität, Spiele
- Informatik (M.Sc.)/Seminar Theoretische Informatik
- Mathematik (M.Sc.)/Seminar: Logik, Komplexität, Spiele (Reine Mathematik)
- Informatik (S II)
- Mathematik (S II)/Hauptstudium/Modul Algebra
- Mathematik (S II)/Hauptstudium/Modul Angewandte Mathematik
Voraussetzungen
- Modul Mathematische Logik
- Stark empfohlen: Mathematische Logik II
- für B.Sc. Informatik: bestandenes Modul "Einführung in das wissenschaftliche Arbeiten (Proseminar)"
Rückfragen
Erich Grädel, Faried Abu Zaid, Simon Lessenich, Wied Pakusa